PUBLICADO POR: URIEL ALMAZAN FLORES

3.1 Función cuadrática y lineal

Las funciones lineales y cuadráticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b, y f(x) = ax2 + bx + c respectivamente, quieres saber a detalle que son las funciones lineales y cuadráticas, cómo se representan en la gráfica y algunos ejemplos?

Función lineal

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, en un gráfica se representa como una línea recta y se escribe: f(x) = mx + b.

Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera potencia, cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe.

m = pendiente de la recta (constante).

b = punto de corte de la recta con el eje y (constante).

x = variable.

Cuando modificamos “m” en una función lineal se modifica la pendiente es decir la inclinación de la recta, si cambiamos “b” la línea se mueve hacía arriba o abajo.

Las funciones se pueden clasificar en tres tipos:

• Si el valor de “m” es mayor a cero la función es creciente.
• Si el valor de “m” es menor a cero la función es decreciente.
• Si “m” es igual a cero la función es constante (su gráfica será una recta paralela al eje X).

Estos son los tres tipos de funciones:

la pendiente es 3/2, cuando aumentamos x en una unidad “y” aumenta en 3/2 de unidad, b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3.

Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano cartesiano.

Función cuadrática

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado que se escribe: f(x) = ax² + bx + c

a, b y c = números reales diferentes a cero.

 Si a>0 el vértice de la parábola estará en la parte inferior y si o a<0 el vértice estará en la parte superior de la parábola.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola de la cual el eje de simetría es paralelo al elle de las “y”.

Modificaciones en la función, si sumamos o restamos dentro del paréntesis la parábola se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente, Si restamos o sumamos en la función fuera del paréntesis la parábola se mueve hacia abajo o hacia arriba.

Para obtener la raíces de la ecuación seguimos estos pasos:

1. Igualar la ecuación a cero.
2. Factor izar la ecuación.
3. Igualar cada factor a cero y obtener las raíces.

Para graficar la función seguimos estos pasos:

1. Con el valor de “a” determinar si la parábola abre hacía arriba o hacía abajo.
2. Obtener los puntos de intersección, los del eje “x” se obtienen con las raíces de la ecuación, para obtener las intersecciones en “y” igualamos la x a cero.
3. Obtener el vértice de la función, el punto “x” de la coordenada del vértice se obtiene con la  fórmula -b/2a y el punto “y” se obtiene sustituyendo x en la función.
4. Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y  3 para graficar la curva.  
5. 3.1.1 Ecuación cuadrática y lineal
6. 1.-ECUACIONES LINEALES:
7. 
   Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
   Una forma común de ecuaciones lineales es:

   ;

   
   Método para Resolver Ecuaciones Lineales:
   
   
   
   1. Método de Suma y Resta (adición)
   
   El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
   Por ejemplo, en el sistema:
   
   
   •  
   no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por

   -2 ,

   para poder cancelar la incógnita

   y ,

   . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
   
   
   •  
   Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita

   y ,

   ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita

   x ,

   :
   
   
   •  
   •  
   •  

   > x = -6 ,>

   El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita

   x ,

   en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de

   y ,

   es igual a:
   
   
   •  

   > y = frac{17}{3}>

   1. Método de Sustitución
   El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
   En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
   
   
   •  
   En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita

   y ,

   por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
   
   
   •  

   > y = 22 - 3x ,>

   El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita

   y ,

   en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la

   x ,

   .
   
   
   •  
   Al resolver la ecuación obtenemos el resultado

   x = 5 ,

   , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos

   y = 7 ,

   , con lo que el sistema queda ya resuelto.
   
   
   1. Método de igualación
   El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
   Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita

   y,

   en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
   
   
   •  
   Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
   
   
   •  
   Una vez obtenido el valor de la incógnita

   x,

   , se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la

   y,

   .
   La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.
   
   
   1. Método de Determinantes
   
   
   
   1. Método Gráfico
   
   
   2.-ECUACIONES CUADRÁTICAS:
   
   
   =====Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X
   9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.Es una ecuaciónde la forma ax2 + bx
   + c = 0 donde
   a
   ,
   b
   , y ,
   c
   son números reales
   y
   a
   es
   un número diferente
   de cero.======
   ======Ejemplos
   : x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0
   
   
   ==
   ==
   La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista eltérmino x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. Elmétodo apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende
   del
   tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver.
   
   
   ==
   
   2.ECUACIONES CUADRÁTICAS
   Tambien llamadas ecuaciones de segundo grado, es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:
   
   donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
   Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en

   ,

   es de la forma:
   
   
   •  

   ,

   con n un número natural y a distinto de cero.
   La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.
   Soluciones de una ecuación cuadrática:
   Fórmula resolvente:
   El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolvente.
   
   La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz.
   Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a,b y c y sustituir sus valores en la fórmula resolvente.
   
   Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.
   
   Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se pueden hallar las raíces de forma mas fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas de factorización.
   
   La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
   ,
   donde el símbolo "±" indica que los dos valores
   
   
   Reales e imaginarias:
   Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones:
   
   
   • Dos raíces reales distintas
   • Una raíz real (o dos raíces iguales)
   • Dos raíces imaginarias distintas
   El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como:

   ,

   
   
   
   • Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas
   • Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número.
   • Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o compleja
   • 
     
   
   
   •  3.1.2 LOS SISTEMAS DE ECUACIONES 
     Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones.
     Estudiaremos la resolución de los siguientes tipos de sistemas:
     Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
     Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
     Sistemas de ecuaciones no lineales.
     Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
     Método de sustitución
     1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
     2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
     3 Se resuelve la ecuación.
     4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
     5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
     Ejemplo
     
     1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
     
     2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
     
     3 Resolvemos la ecuación obtenida:
     
     4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
     
     5 Solución
     
     
     
     
     Método de igualación
     1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
     2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
     3 Se resuelve la ecuación.
     4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
     5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
     Ejemplo
     
     1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
     
     
     2 Igualamos ambas expresiones:
     
     3 Resolvemos la ecuación:
     
     
     4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:
     
     5 Solución:
     
     Método de reducción
     1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
     2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
     3 Se resuelve la ecuación resultante.
     4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
     5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
     
     
     
     Ejemplo
     
     Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.
     
     Restamos y resolvemos la ecuación:
     
     Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.
     
     Solución:
     
     
     
     
     Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
     Método de Gauss
     Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera queen cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.
     1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.
     2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
     3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminarel término en x.
     4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
     5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
     6º Encontrar las soluciones.
     
     
     
     Ejemplo
     
     1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.
     
     2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
     E'₂ = E₂ − 3E₁
     
     3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminarel término en x.
     E'₃ = E₃ − 5E₁
     
     
     4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
     E''₃ = E'₃ − 2E'₂
     
     5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
     
     6º Encontrar las soluciones.
     z = 1
     − y + 4 ·1 = −2        y = 6
     x + 6 −1 = 1          x = −4
     
     
     
     Sistemas de ecuaciones no lineales
     La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:
     1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.
     2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.
     3º Se resuelve la ecuación resultante.
     4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.
     
     
     
     Ejemplo
     
     La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:
     1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.
     y = 7 − x
     2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.
     x² + (7 − x)² = 25
     3º Se resuelve la ecuación resultante.
     x² + 49 − 14x + x² = 25
     2x² − 14x + 24 = 0
     x² − 7x + 12 = 0
     
     4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.
     x = 3           y = 7 − 3        y = 4
     x = 4           y = 7 − 4        y = 3
     Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones por sustitución
     Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones por igualación
     Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones por reducción
     Ejercicios y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss
     Ejercicios y problemas resueltos de sistemas no lineales